Temas Transcendentais

A Música das Esferas

A Matemática e a Música

José Francisco Rodrigues

No limiar do terceiro milênio da nossa era a célebre expressão de Leibniz, “Musica est exercitium arithmeticæ occultum nescientis se numerare animi” (A música é um exercício oculto de aritmética de uma alma inconsciente que lida com números), poderá ser tomada em sentido lato numa concepção contemporânea de arte e ciência. Com efeito, na criação, transmissão e entendimento da música, hoje em dia, como antigamente, verifica-se a existência de um conjunto de relações sonoras e simbólicas que, direta ou indiretamente, poderão ser associadas às ciências matemáticas.

A regularidade ou complexidade das vibrações, as relações tonais em melodias e harmonias, o ritmo e a variedade de formas e estruturas musicais, a análise e síntese do som, ou a composição e execução musicais assistidas por computador conduzem-nos a modernas reinterpretações da tradição pitagórica segundo a qual a música seria a “ciência do número aplicada aos sons”.

Sem ignorar que a música, enquanto arte dos sons, tem uma dimensão artística que não é, naturalmente, redutível à ciência do número, na História da civilização européia, desde a antiguidade clássica até ao século das luzes, os aspectos eruditos da música foram sempre considerados uma das disciplinas das matemáticas aplicadas. Reflexo desta tradição, Diderot no seu artigo Pitagorismo, publicado no tomo XII da Encyclopédie, em 1765, depois de referir vários aspectos da Música de Pitágoras numa perspectiva iluminista, escreve literalmente: “C’est par les nombres et non par le sens qu’il faut estimer la sublimité de la musique. Etudiez le monocorde” (É pelos números e não pelo sentido que se deve avaliar a sublimidade da música. Estudai o monocórdio).

Harmonices Mundi

Comentário

Os princípios astrológicos que determinam o tipo de estrutura a se desenvolver nos orbes estrelares compõe a música de fundo das espécies que lá existirão. Como o leitmotiv dos alemães, a melodia de um sistema solar é o compasso da medida da evolução de sua espécie.

Neste início do século XXI o homem se entretém com seus lúdicos brinquedinhos tecnológicos sem atentar para o fato de que esta vivência da puberdade humana é algo tão incipiente e desprovido de sabedoria quanto às sutis filosofias eclesiásticas que destinam a raça humana aos porões do inferno ou às bem aventuranças divinas.

O que se pode auferir com certeza é que a concepção binária do universo, seja ela matemática ou maniqueísta, é o leitmotiv de nossa espécie humana. Para quem vive iludido nas visões futurísticas de civilizações tecnológicas não há muito que se dizer, da mesma forma para aqueles que aguardam a redenção de suas almas por um divino salvador, reservemo-nos apenas a um desdém respeitoso.

Entretanto, para o homem de espírito culto que se resguarda dos modismos científicos e, sobretudo, das delirantes concepções religiosas de nosso mundo, existe um universo digno dos deuses. Para nós, homens de sabedoria e espíritos livres, o universo se revela muito além do que a concepção humana de nosso orbe propõe.

Este universo sonoro e matemático está implícito na própria razão de ser de nossa espécie, e somente quem ainda ouve esta música das esferas composta entre afélios e periélios poderá entender o sentido da vida nas proporções astrológicas que regem os destinos do universo.

César Augusto – Astrólogo

Aritmúsica Pitagórica

 “Um certo Pitágoras, numa das suas viagens, passou por acaso numa oficina onde se batia numa bigorna com cinco martelos. Espantado pela agradável harmonia (concordiam) que eles produziam, o nosso filósofo aproximou-se e, pensando inicialmente que a qualidade do som e da harmonia (modulationis) estava nas diferentes mãos, trocou os martelos. Assim feito, cada martelo conservava o som que lhe era próprio. Após ter retirado um que era dissonante, pesou os outros e, coisa admirável, pela graça de Deus, o primeiro pesava doze, o segundo nove, o terceiro oito, o quarto seis de não sei que unidade de peso.” Assim descreve Guido d’Arezzo, no seu pequeno, mas influente tratado de música Micrologus, a lenda que atribui a Pitágoras a descoberta fundamental da dependência dos intervalos musicais dos quocientes dos primeiros números inteiros, parafraseando o romano Boécio, “a grande, espantosa e muito sutil relação (concordiam) que existe entre a música e as proporções dos números (numerum proportione)”.

Em termos dos comprimentos de uma corda esticada, em particular do monocórdio, aquelas proporções simples traduzem-se no uníssono, dado pela razão 1:1, na oitava (diapason) por 1:2, na quinta (diapente) por 2:3 e na quarta (diatessaron) por 3:4. Estas razões podem ser obtidas a partir daqueles quatro números inteiros, correspondendo, respectivamente, a uma corda de comprimento igual a 12 unidades (uníssono), reduzida a metade, 6 (oitava), a 8 unidades (quinta) ou a 9 (quarta).

Para a Escola de Pitágoras, a harmonia dos sons estava em correspondência direta com a aritmética das proporções: o produto de 2/3 (fração associada à quinta) por 3/4 (fração associada à quarta) dá a fração 1/2 associada à oitava; a sua divisão (subtração de intervalos) está associada à fração 8/9 = (2/3):(3/4) que representa um tom, a diferença de uma quinta e de uma quarta. Analogamente, se obtêm que uma oitava é composta por duas quartas e um tom (1/2 = 3/4 x 3/4 x 8/9).

Um dos textos gregos mais antigos que apresenta uma explicação sistemática das primeiras escalas musicais chegou até nós com o título Sectio Canonis, ou a “Divisão dum monocórdio”, e foi escrito cerca de 300 AC, sendo atribuído, não sem controvérsia, a Euclides. Com uma breve introdução sobre as causas dos sons e suas alturas, enquanto quantidades relativas, e com vinte proposições argumentadas à maneira de teoremas, esse pequeno tratado euclidiano de música expõe o tratamento dos intervalos como razões entre números inteiros e culmina com a divisão do Kanón, que lhe dá o nome. Por exemplo, a sua 14ª Proposição estabelece que a oitava é menos que seis tons e a 15ª que a quarta é menos que dois tons e meio e que a quinta menos que três tons e meio.

Este tipo de resultados, remontando ao tempo de Pitágoras e Euclides, mostram, em particular, a importância do papel da música grega no desenvolvimento da matemática pura, como já observara Paul Tannery. É ainda da escola pitagórica a divisão das ciências matemáticas em quatro partes: a aritmética (quantidade discreta estática), a geometria (grandeza estacionária), a música (quantidade discreta em movimento) e a astronomia (grandeza dinâmica). Esta classificação viria a constituir o Quadrivium, uma parte substancial das sete artes liberais do curriculum medieval, que se completavam com o Trivium (gramática, dialética e retórica).

Os números harmônicos 6, 8, 9 e 12 têm ainda particularidades aritméticas notáveis, pois, para além de 6 estar para 8, assim como 9 para 12 (6/8 = 9/12) e 6 para 9 tal como 8 para 12 (6/9 = 8/12), o número 9 é exatamente a média aritmética de 6 e 12 e 8 a média harmônica de 6 e 12,

9 = 1/2 (6 + 12) e 1/8 = 1/2 (1/6 + 1/12)

A média aritmética de dois números foi definida pelos gregos como o número que excede o menor duma mesma quantidade de que é excedido pelo maior, b-a = a-c, ou a=1/2 (b+c); e a média geométrica de dois números como aquele cuja diferença para o maior dividida pela diferença do segundo é igual ao primeiro dividido por si, ou seja, (b-g)/(g-c) = b/g, de modo equivalente à definição atual: g= √bc (a média geométrica de dois números é a raiz quadrada do seu produto).

A média harmônica de dois números foi definida como o número cuja diferença para o maior dividida pela diferença com o menor é igual à divisão do maior pelo menor, (b-d)/(d-c) = b/c, ou seja:

1/d = 1/2 (1/b + 1/c), ou d = 2bc/b + c, que são as expressões atualmente usadas.

O estudo das proporções ou das médias (medietates) foi transmitido à Idade Média por Boécio, em particular, na sua De institutione musica, pois “esta matéria pode ser útil às especulações relativas à música ou às subtilezas da astronomia, ou ainda ao alcance das considerações geométricas, ou mesmo à compreensão das teorias dos antigos…”. As proporcionalidades aritmética, geométrica e harmônica estão presentes em toda a ciência e música medievais, onde esta é definida como número associado ao som – numerus relatus ad sonum. Por exemplo, no tratado especulativo Ars novae musicae (1319), o matemático e astrônomo parisiense Jean de Muris escrevia O som é gerado pelo movimento, pois pertence à classe das coisas sucessivas. Por isso, só existe enquanto é produzido, cessando de existir uma vez produzido… Toda a música, especialmente a música mensurável, baseia-se em perfeição, combinando em si número e som.

A interpretação e a especulação filosóficas baseadas nestes tipos de particularidades matemáticas, como por exemplo, o fato de o cubo ter 6 faces, 8 vértices e 12 arestas, e por isso ser considerado um sólido harmônico, juntamente com outros paralelismos mais subtis entre a aritmética e a geometria, conduziu a civilização clássica à doutrina da música das esferas e, numa expressão de Aristóteles, a considerar que “todo o céu é número e harmonia”.

Contudo, a filosofia clássica distinguia três tipos de música, a qual foi classificada, em terminologia boeciana, em musica instrumentalis (produzida pela lira, flauta, etc.), musica humana (inaudível, mas produzida no homem pela interação entre o corpo e a alma) e a musica mundana (produzida pelo próprio cosmos e mais conhecida pela música do universo).

Harmonia Celeste

Anicius Manlius Severinus Boethius

 A astronomia helenística, baseada nos dados empíricos e na geometria grega, atingiu o seu grau mais elaborado em Claudio Ptolomeu (séc. II), que com a sua obra Mathematike Syntaxis, mais conhecida pelo nome latino Almagest, influenciou a civilização ocidental durante catorze séculos. Para além de outros escritos sobre mecânica e óptica, Ptolomeu foi também autor do notável tratado Harmonica, onde não só aprofundou a tese dos intervalos entre notas musicais enquanto razões entre números, com originalidade musicológica e aplicações às afinações da lyra e da kithera, como também, no Livro III, elaborou sobre as semelhanças entre o sistema harmônico e o círculo associado ao zodíaco e as modulações tonais e os movimentos dos astros. Ptolomeu transmitiu, desse modo, o mito de como as relações matemáticas subjacentes às estruturas da música audível constituem as formas da essência e causa das harmonias tanto na alma humana como nos movimentos e configurações dos astros.

O modelo ptolomaico só começou a ser posto em causa na Renascença com o retomar da teoria heliocêntrica por Copérnico, com a publicação em 1543 da sua obra capital De Revolutionibus Orbium Celestium, e na seqüência dos avanços instrumentais e das observações de Tycho Brahe. Contudo, para o seu sucessor como “astrônomo imperial”, Joannes Kepler, o movimento dos planetas ainda era uma música imanente da perfeição divina, bem na tradição da cosmologia mítica do Timaeus de Platão. Mas isso não o impediu de chegar às célebres e substanciais três leis do movimento: os planetas giram em torno do Sol, em órbitas elípticas, tendo-o por um dos focos; as suas áreas orbitais são percorridas proporcionalmente ao tempo (o que implica aceleração no periélio e retardamento no afélio); e os quadrados dos períodos de revolução de cada planeta são proporcionais aos cubos das suas distâncias médias ao Sol.

O célebre matemático alemão, no 3º capítulo do livro V do seu Harmonices Mundi (1619), considerou que a descoberta da última lei completava uma parte da sua obra Mysterium Cosmographicum, publicada em Tubingen, em 1596: Com efeito, após ter encontrado os verdadeiros intervalos dos Orbes, graças às observações de Brahe, depois de um longo período de trabalho contínuo, a autêntica proporção dos Tempos periódicos em relação com a proporção dos Orbes… tardiamente, em verdade, tornou-se evidente para mim (…); a concordância era tão grande entre o meu trabalho de dezessete anos sobre as Observações Brahenianas e esta meditação, a convergência era tão perfeita, que acreditei inicialmente sonhar e pressentir o que procurava de princípio. Mas a coisa é tão certa e tão exata: a razão que existe entre os tempos de revolução de dois planetas quaisquer está em proporção precisamente sesquiáltera com a razão das suas distâncias médias, isto é dos seus Orbes.

No seu Mistério Cosmográfico, Kepler especulou sobre a admirável proporção entre corpos celestes e a bela harmonia que existe entre as partes do cosmos. Comparando as razões das esferas inscritas e circunscritas nos cinco sólidos platônicos, o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro (limitado por doze pentágonos) e o icosaedro (facetado com vinte triângulos eqüiláteros) com as razões das órbitas dos seis planetas então conhecidos (contando com a Terra, mas excluindo a Lua) associando-os aos cinco intervalos dos respectivos orbes, o jovem astrônomo acreditou ter encontrado a chave do universo.

O seu temperamento místico e especulativo esteve na base da sua constante pesquisa de relações entre diversas grandezas numéricas do Sistema Solar. Na sua descrição da Harmonia do Mundo, Kepler concluiu, exatamente no mesmo livro V, após enunciar a sua terceira lei sobre as órbitas dos planetas, que “os modos ou tons musicais são reproduzidos de uma certa maneira nas extremidades dos movimentos planetários”. Desse modo, considerando os sete intervalos consonantes da oitava do seu tempo: 1:1 (uníssono); 1:2 (oitava), 2:3 (quinta), 3:4 (quarta), 4:5 (tércia maior), 5:6 (tércia menor), 3:5 (sexta maior), 5:8 (sexta menor), Kepler estabeleceu as seguintes harmonias dos seis planetas conhecidos:

 Saturno 4:5 (uma tércia maior)

Júpiter 5:6 (uma tércia menor)

Marte 2:3 (uma quinta)

Terra 5:16 (um meio tom)

Vênus 24:25 (um sustenido)

Mercúrio 5:12 (uma oitava e uma tércia menor);

Calculando as razões afélio/periélio de cada um deles. Por exemplo, Saturno percorre, respectivamente, um arco de 106 ou de 135 segundos por dia quando está no seu ponto mais afastado (afélio) ou mais perto (periélio) do Sol, quando observado do próprio Sol, obtendo-se 106/135 ≈ 4/5.

A metafísica kepleriana vai ao ponto de, nas concordâncias celestes do Harmonices Mundi, não só associar Mercúrio ao soprano, Vênus e a Terra ao alto, Marte ao tenor e Júpiter e Saturno ao baixo, como ainda numa pequena nota afirmar que “a Terra canta as notas MI, FA, MI, de modo que delas se possa conjecturar que no nosso seio prevalecem a miséria (MIseria) e fome (FAmes)”.

No entanto, Kepler ao basear as suas especulações nos dados experimentais e fornecer, com as suas leis, elementos fundamentais para a teoria da gravitação de Newton, não pode deixar de ser considerado uma figura maior na História da Ciência, apesar de podermos concordar com Laplace, como il est affligeant pour l’esprit humain de voir ce grand homme même se complaire avec délices dans ces chimériques spéculations, et les regarder comme l’âme et la vie de l’astronomie(como é aflitivo para o espírito humano ver este grande homem realmente comprazer-se nestas quimeras especulativas, e encará-las como a alma e a vida da astronomia), numa significativa apreciação de 1821.

Álgebra dos tons

In Friboug: le cornet est semblable à l’éclat d’un rayon de soleil, qui paroist dans l’ombre ou dans les ténèbres – Marin Mersenne (Harmonie Universelle, c1636)

A cultura grega clássica baseou o seu sistema musical na lira, tal como os chineses o haviam baseado na flauta de bambu. No entanto, não dispunham dos instrumentos técnicos ou conceituais que lhes permitissem o domínio completo do fenômeno vibratório ou da análise da freqüência dos sons, para além da simples observação empírica da relação inversa entre a freqüência do som fundamental emitido pela corda vibrante (lira) ou pelo tubo longo (flauta) e o seu comprimento, ficando apenas pelas primeiras quatro harmônicas. As escalas pitagóricas baseiam-se assim nos intervalos “racionais” elementares (oitava, quinta e quarta) e respectivas sucessões alternadas, partindo de um som f0 = f e do som f1 = 3/2f situado uma quinta acima na escala, o som f2 = 3/4 f1 = 9/8f situar-se-á uma quarta abaixo de f1’, o som f3 uma quinta acima da f2 e assim sucessivamente. Deste modo, tem-se:

f2n = (9/8)n e f2n+1= 3/2 (9/8) n, n inteiro, e podermos construir, a partir de f0 = f, a sucessão f do seguinte modo:

fn+1= 3/2 fn se 3/2 fn < 2f

fn+1/2 = 3/2 fn se 3/2 fn ≥ 2f.

Obtemos assim o “ciclo das quintas” na forma

Uma espiral de quintas

fn = (3/2) n (1/2)p f,

sendo p o inteiro tal que fn Є (f, 2f), que não é obviamente, um verdadeiro ciclo, pois se assim fosse teriam de existir dois inteiros n e p tais que 3n = 2n+p, que é impossível visto que o primeiro é sempre um número ímpar e o segundo par. No solfejo clássico, quando se afirma que “12 quintas correspondem a 7 oitavas” tal não é matematicamente certo, pois corresponderia a dizer que “3¹² = 2¹⁹”. Isso apenas traduz, quanto muito, uma certa tolerância do ouvido àquela afinação pois, de fato, 3¹²/2¹⁹ = 531441/524288 ≈1.

Esta diferença, a chamada coma pitagórica, está essencialmente relacionada com a impossibilidade, encontrada já pelos gregos, de medir a diagonal do quadrado através de uma fração exata do seu lado e, portanto, também com a irracionalidade do número √2. Tal impossibilidade explica também o fato de não poder existir uma gama musical “perfeita” ou “bem temperada”, cujas razões dos tons ao tom de referência sejam sucessivamente 1, τ, τ², …, τ¹² = 2, apenas baseadas nos números racionais 3/2 e 4/3. Com efeito, não há nenhum modo “natural” de calcular o número irracional

τ = ¹²√2 = 1,059463094…

que está na base do semi-tom do intervalo elementar da gama temperada de doze notas formando um “circulo perfeito”.

É interessante observar que a incongruência resultante da coma pitagórica, que acumula dissonâncias à medida que se sobe ou desce na escala musical, tem uma analogia com as incongruências dos calendários antigos. Os três relógios astronômicos, a sucessão dos dias, das fases da lua e as deslocações do Sol, com as respectivas estações determinam que o ano composto por 12 meses lunares corresponda a 354 dias e difira, portanto, de cerca de 11 dias do ano solar. Mas como a 19 anos correspondem 235 meses lunares, decompondo 235 = 19×12+7, podemos “acertar” os ciclos solares e lunares, a menos de um resíduo de cerca de 1h30m, considerando 12 anos com 12 meses lunares e os restantes 7 com 13, pois tem-se 235 = 12×12+7×13. Este ciclo, chamado de Meton, ilustra de um modo grosseiro um certo paralelismo entre o problema de acertar os calendários com as efemérides astronômicas e a divisão da escala musical com a consonância dos sons.

Até à Renascença, a gama cromática de Pitágoras, correspondendo à tonalidade das freqüências dos sons do Dó = f, Ré = 9/8 f, Mi = 81/64 f, Fá = 4/3 f, Sol = 3/2 f, Lá = 27/16 f, Si = 243/128 f e Dó = 2f, foi utilizada na música européia segundo a tradição clássica. No século XVI, a gama diatônica de G. Zarlino, caracterizada segundo as proporções diretamente derivadas da sucessão dos primeiros seis inteiros, introduz razões mais simples ao substituir as freqüências das notas Mi, Lá e Si, respectivamente, por 5/4 f, 5/3 f, 15/8 f, mantendo as outras inalteradas, sem contudo resolver satisfatoriamente o problema da transposição.

Uma solução matematicamente simples de concepção, mas cuja vulgarização viria a utilizar um novo instrumento de cálculo só construído no início do século XVII, os logaritmos, é o temperamento igual. A sua formulação teórica encontra-se já na obra “De musica”, de F. Salinas, publicada em Salamanca de 1577, onde se refere que “a oitava tem que ser dividida em doze partes igualmente proporcionais, as quais serão os semitons iguais”. ou seja, se τ é o intervalo separando dois tons consecutivos, τ=n√2 representa a razão da respectiva progressão geométrica, sendo n o número da divisão em partes iguais da oitava. No caso particular n = 12, as freqüências associadas às sete notas da escala habitual vêm dadas por:

Dó = f, Ré = ⁶√2f, Mi = ³√2f, Fá = ¹²√2⁵f,

Sol = ¹²√2⁷f, Lá = ⁴√2³f, Si = ¹²√2¹¹f e Dó = 2f.

As primeiras aproximações numéricas do temperamento igual eram geométricas e mecânicas, como o antigo instrumento inventado pelos gregos para achar mecanicamente médias proporcionais, chamado mesolábio e utilizado por Zarlino ainda no século XVI, ou outros métodos euclidianos que se encontram na Harmonie Universelle (1636-7) de M.Mersenne ou na Musurgia Universalis (1650) de A. Kircher. No entanto, e apesar das aproximações numéricas do temperamento igual serem atribuídas aos chineses, Simon Stevin calculou, por volta de 1600, uma divisão igual da oitava em doze intervalos com quatro casas decimais sem, no entanto, advogar o temperamento igual no seu tratado sobre a teoria da música que ficou inédito.

Outros cientistas do século XVII abordaram profundamente a teoria da música, nomeadamente Galileu, Kepler, Descartes e Huygens, entre outros. Em particular, Christiaan Huygens, tal como Galileu filho de um compositor, publicou em 1691 um notável ensaio de musicologia, Novus Cyclus Harmonicus onde teorizou a divisão da oitava em 31 intervalos iguais e foi um dos primeiros a introduzir o cálculo dos logaritmos na música. Já numa carta de 1661, Huygens referia que se havia ocupado durante alguns dias a estudar a música, e a divisão do monocórdio à qual aplicara felizmente a álgebra, tendo “achado que o uso que fizera dos logaritmos fora aí de grande utilidade. Numa outra, de 1691, após referir Salinas e Mersenne enquanto autores que já haviam considerado aquela divisão sem grande conseqüência, observa que se os seus antecessores se haviam enganado por não terem sabido dividir a oitava em 31 partes iguais (…) porque para isso era necessária a inteligência dos Logaritmos. Sem entrar em outras considerações de ordem musical, é interessante observar as diferenças de atitude de Huygens, por um lado, ao tentar combinar experiência sonora e análise científica no temperamento de 31 tons que advogou, com o sistema matematicamente atraente, mas musicalmente ainda inaceitável para a época, da divisão igual de 12 tons de Stevin, ou, por outro, com o sistema bem temperado, também de 12 tons, de Werckmeister (1691), cujo objetivo de fechar o ciclo das quintas era conseguido com uma distribuição irregular e empírica da coma pitagórica entre as quintas. De passagem refira-se que Huygens considerava Werckmeister um author ineruditus ac parvi pretij (autor sem erudição e de pouco mérito).

representações geométrica e algébrica do grupo de klein

Se Kepler havia procurado um elaborado critério geométrico para distinguir a consonância da dissonância, o jovem Descartes no seu tratado, também de 1619, Compendium Musicae, limita-se às razões dos intervalos consonantes através de segmentos de comprimentos variáveis, afirmando que apenas as três primeiras bissecções de um segmento de reta são associáveis às consonâncias básicas, são apenas três os “números sonoros”: 2, 3 e 5. Mas é no matemático L. Euler que se encontra uma das mais engenhosas teorias algébricas da divisão da oitava e do grau da consonância dos intervalos musicais. Com efeito, no seu Ensaio de uma nova teoria da música (Tentamen novae theoriae musicae, 1739) Euler desenvolve uma argumentação de influência leibniziana na qual as proporções geram um prazer musical, via a ordem e a perfeição – “a música é a ciência de combinar os sons da qual resulta uma harmonia agradável” – de modo que, para este matemático, um objeto musical é um simples objeto aritmético. Assim, por exemplo, Euler introduz uma medida do grau de consonância (agrément) de um intervalo através de uma fórmula algébrica

α (I) = Σ ( mτ pτ – mτ) + 1

em que  são números primos e expoentes inteiros, tais que o intervalo I esteja associado ao número racional 1/p1 m1 p2 m2 … pn mn. Para o uníssono (1/1) obtemos 1 como primeiro grau de consonância (primum suavitatis gradum), o segundo para a oitava (1/2) e assim sucessivamente, dos intervalos mais simples para os mais complexos.

A teoria elaborada por Euler, baseada numa perspectiva hipotético-dedutiva, acabou por não ter uma reação favorável nos músicos de setecentos, mas não deixa por isso de ser uma notável incursão na teoria da música feita pelo matemático mais marcante do século do iluminismo, no qual a música européia iria, contudo, começar a fornecer exemplos de composições como o Cravo bem temperado de J. S. Bach, cujos dois volumes datam, respectivamente, de 1722 e 1744.

Mas a álgebra dos tons não se reduz aos problemas associados ao temperamento. Ela suscita questões mais profundas na estrutura dos sons e na própria composição musical. De fato as notas musicais podem ser agrupadas em classes de equivalência e daí serem chamadas pelo mesmo nome, duas notas dizem-se equivalentes se estão separadas por um número exato de oitavas, ou seja, se tiverem freqüências p e q, o intervalo entre elas é de forma p /q = 2k, com k Є Z (k = 0, ± 1, ± 2, …) e indicaremos por p ~ q. Em particular, no sistema temperado de 12 notas, o intervalo é caracterizado pelo número de semitons e as notas podem ser associadas ao conjunto de inteiros Z¹² = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} módulo 12, que é um grupo para a adição (mod.12). Um grupo é um conjunto de elementos com uma lei de composição interna associativa, (a+b)+c = a+(b+c), com elemento neutro 0, a+0 = 0+a = a, e em que cada elemento a admite um simétrico a -¹, tal que a+a -¹ = a -¹+a = 0.

Assim, por exemplo, compondo um intervalo de 7 semitons (quinta) com um intervalo de 10 semitons (sétima menor) dá um intervalo de 17 semitons que é uma oitava mais uma quarta, 7+10 = 5 (mod.12). Analogamente se vê que 5+7 = 0 (mod.12), uma quinta e uma quarta são inversas uma da outra.

Os grupos podem também ocorrer no modo como um trecho musical foi composto, seja na forma de grupos cíclicos, como o da gama cromática de 12 notas em que as relações musicais entre notas e intervalos estão diretamente associadas às leis de composição numérica, seja na forma de grupos de transformação de tipo geométrico. A análise musical tem procurado identificar estruturas de ordem temporal daquele tipo em composições baseadas numa concepção cíclica do tempo em compositores tão distantes como Machaut (na Messe Notre-Dame, séc. XIV) ou Alban Berg (na ópera Wozzeck,séc. XX), ou estruturas de subgrupo do grupo Z¹²em composições de J.S. Bach (O cravo bem temperado) ou de Bela Bartók (Música para Cordas, Percursão e Celeste). Talvez mais claros seja os padrões matemáticos associados às duas dimensões do tempo e das alturas, os quais são susceptíveis de exibir simetrias geométricas dos temas melódicos, da sucessão de sons de diversas durações.

Um exemplo típico é dado na Oferenda musical de J.S. Bach de 1747, a qual apresenta três tipos de transformações: translações (transposições ascendentes, como no canon Ascendenteque Modulationem ascendat gloria Regis), simetrias horizontais (inversões melódicas, como no canon Per Motum Contrarium) e simetrias verticais (retrogradações, como no canon a 2 que toca o mesmo tema começando na última nota retrocedendo até à primeira).

Estas transformações de simetria, que se podem associar às isometrias do plano, constituem uma estrutura de grupo e podem ser compostas, dando origem a uma terceira simetria relativamente a um ponto, tema que se pode encontrar noutras composições musicais, em particular de Anton Weber, nomeadamente no plano de conjunto do segundo andamento da Sinfonia op. 21, conforme foi observado pelo musicólogo contemporâneo Robert Pascal. Este grupo de quatro transformações (a identidade, a inversão, a retrogradação e a composição destas duas) formam o grupo Klein, o que não é mais do que uma conseqüência do seu isomorfismo com o grupo das simetrias planas relativamente aos dois eixos ortogonais e à sua intersecção. Esta última simetria relativamente a um ponto é também a dos dois tetracordes cromáticos (ré, ré#, mi, fá) = (2,3,4,5) e (sol#,lá,lá#,si) = (8,9,10,11) que estão na base do “inesgotável acorde de Tristão”, na célebre ópera de Wagner, que tem sido objeto de inúmeras análises e interpretações musicais, ao ponto de até se ter nele encontrado uma alusão metafórica à separação trágica de Tristão e Isolda.

Harmonização da Análise

 Galileu Galilei no fim da primeira jornada dos Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla mecanica ed i movimenti locali (1638) refere a questão das cordas vibrantes e das consonâncias do seguinte modo: … a razão primeira e imediata de que dependem as razões dos intervalos musicais não é nem o comprimento das cordas, nem a sua espessura, mas a proporção existente entre as freqüências das vibrações, e portanto das ondas que, propagando-se no ar, atingem o tímpano do ouvido fazendo-o vibrar nos mesmos intervalos de tempo. Mas é, sobretudo, a Marin Mersenne que se deve o estabelecimento das leis básicas da moderna acústica das cordas. Com efeito, na sua monumental obra Harmonie universelle (1636), encontram-se as suas leis experimentais sobre a proporcionalidade do período de vibração da corda e, portanto, do inverso da freqüência υ, relativamente ao seu comprimento l, ao inverso da raiz quadrada da sua tensão τ e à raiz quadrada da sua espessura ou área S da sua secção (1/υ~ l √S /τ).

A teoria matemática do som só se viria a desenvolver no século XVIII, na seqüência da evolução da dinâmica baseada no modelo da mecânica de Isaac Newton estabelecido nos Principia Mathematica (1687), tendo sido B. Taylor o primeiro a calcular o período fundamental de uma corda vibrante, em 1713. Mas foi Joham Bernoulli quem, numa comunicação ao seu filho Daniel em 1727, estabeleceu a primeira análise da configuração da pequena deformação da corda vibrante com peso. Partindo da equação diferencial do pêndulo simples de comprimento L (a determinar) para um elemento da corda de massa ρ dx:

d² v /dx² = (- g/L) (ρ/τ) v

 obteve a solução, entre x = 0 e x = l, dada por

v = A sen ω x, (A = constante),

onde ω = √(g/L) (ρ/τ), τ é a tensão e g a aceleração da gravidade. Em particular, J. Bernoulli demonstrou que a corda vibrante tem a forma de um seno, de onde fazendo v = 0 quando x = l, se deduz L = (g ρ/τ) (l²/π²).

Pela segunda lei de Newton, a pequena vibração do pêndulo vem dada por

d² v /dt² = – (g/L)v,

o que nos dá o valor do período T = 2π√L/g. Assim, substituindo o valor de L atrás calculado, obtêm-se a freqüência (fundamental) da corda vibrante:

υ = 1/T = √τ/ρ/2l,

reencontrando-se as leis de Mersenne, estabelecidas no século anterior.

Mas é sobretudo com a introdução da equação das ondas

∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x² (c² = τ/ρ)

na memória de D’Alembert publicada pela Academia de Berlin em 1747, “Recherche sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration”, e com os trabalhos subseqüentes de Euler, Daniel Bernoulli e Lagrange, que a teoria matemática da “corda musical” adquire o modelo adequado às pequenas vibrações, o qual vai ser determinante no estudo das oscilações nos meios contínuos, em particular, à própria propagação do som no ar.

É o próprio D’Alembert que determina a solução da equação das ondas na forma:

u = u (x, t) = ½ [U (x+ct) + U (x-ct)] + ½c ∫x+ct x-ct V (s) ds

 a partir das condições iniciais

u (x, 0) = U (x) e ∂u/∂t (x, 0) = V (x).

Em particular, considerou soluções do tipo sinusoidal, na forma da solução de Taylor com ω = π/l no caso V = 0, ou na forma

A cos π (x ±ct)/l

 quando U = 0, e procurou estabelecer as restrições a que as funções U e V teriam de satisfazer para obter a solução geral da corda vibrante. Mas é numa memória de Euler de 1748 De vibratione chordarum exercitatio, que foi estabelecida a relação υ = k υ1’, k = 2, 3, … entre as frequências próprias a partir da equação das ondas, obtendo soluções na forma:

u (x, t) = Σn An sen nπx/l cos nπct/l

não especificando, contudo, se a soma Σn é finita ou infinita, mas observando que os modos simples de vibrações podem ser combinados com amplitudes An arbitrárias.

No desenrolar da célebre “controvérsia da corda vibrante”, uma disputa científica que envolveu os principais matemáticos de setecentos, Daniel Bernoulli, num escrito de 1753, estabelece o princípio da sobreposição das pequenas oscilações harmônicas, enquanto uma lei física e não tanto como um resultado matemático, concluindo que “todo o corpo sonoro contem potencialmente uma infinidade de sons e uma correspondente infinidade de modos de produzir as respectivas vibrações regulares”. Mas é numa extraordinária memória do jovem Lagrange, “Recherches sur la nature et la propagation du son”, publicada em Turim em 1739, que se encontra a fórmula, a qual em notação moderna se escreveria na forma

u (x, t) = 2 ∫¹₀ U (s) ∞Σn=1 sen nπs/l sen nπx/l cos nπct/l ds

 + 2/nπ ∫¹₀ V (s) ∞Σn=1 1/n sen nπs/l sen nπx/l cos nπct/l ds,

 para a solução da equação de D’Alembert. Contudo para Lagrange o sinal integral é empregue “para exprimir a forma de todas estas sucessões” de soluções discretas obtidas pela substituição da corda contínua pela corda partida em n secções rígidas, substituindo a equação com derivadas parciais das ondas por um sistema de n-1 equações diferenciais ordinárias dos vértices móveis, uma vez que as extremidades são fixas. Como foi observado por vários autores, não podemos, contudo, concluir que Lagrange obteve o que hoje conhecemos como teorema de Fourier, uma vez que o método não só era meramente formal, como não discute qualquer condição sobre as funções Ue V para assegurar a convergência das séries trigonométricas nem a passagem ao limite na obtenção do integral. O próprio Lagrange apesar de, posteriormente, ter intuído que os seus cálculos, relativos aos corpos móveis em número finito ou infinito, poderiam demonstrar “la belle proposition de Mr. Daniel Bernoulli que: lorsqu’un système quelconque de corps fait des oscillations infiniment petites, le mouvement de chaque corps peut être considéré comme composé de plusieurs mouvements partiels et synchrones chacum à celui d’un pendule simple” (quando um sistema qualquer de corpos efetua oscilações infinitamente pequenas, o movimento de cada corpo pode ser considerado como composto de vários movimentos parciais e síncronos cada qual ao de um pêndulo simples), não insistiu no seu método, pois, tal como Euler, considerava falso que qualquer função pudesse ser representada por uma série trigonométrica infinita.

Lagrange points Earth vs Moon

Lagrangian point

É de referir que, na memória de 1759, Lagrange não só procura analisar a propagação do som, em particular através do ar, como tenta ainda fornecer uma explicação científica à teoria da combinação dos tons de Tartini, exposta no seu Tratado de Música de 1754. Também Euler, na carta de 23 de Outubro de 1759, em que agradece a Lagrange aquele trabalho, manifesta preocupações de índole musical, nomeadamente no parágrafo em que escreveu: “Pour les sons de Musique, je suis parfaitement de votre avis, Monsieur, que les sons consonants que M. Rameau prétend entendre d’une même corde viennent des autres corps ébranlés; et je ne vois pas pourquoi ce phénomène doit être regardé comme le príncipe de la Musique plutôt que les proportions qui en sont le fondement” (Quanto aos sons da Música, estou perfeitamente de acordo consigo, Senhor, que os sons consonantes que o Sr. Rameau pretende ouvir duma mesma corda resultariam dos outros corpos vibrantes; e não vejo porquê este fenômeno deve ser visto como o princípio da Música em lugar de as verdadeiras proporções que constituem o seu fundamento).

No entanto só no século seguinte, com a publicação em 1822 da obra fundamental de J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur, se dá um novo passo decisivo na “harmonização” da análise matemática. Mas apesar de Fourier manter a possibilidade do “développement de une function arbitraire en séries trigonométriques”, só ao longo de oitocentos o progressivo esclarecimento das próprias noções de “função arbitrária” e da análise das várias noções de convergência de séries infinitas de funções e, sobretudo, já no século XX com o teorema de Riesz-Fischer (1907) sobre a convergência das séries de Fourier em média quadrática, é que a análise funcional do fenômeno vibratório adquire o estádio atual de rigor e desenvolvimento, com vastas e profundas conseqüências em toda a Física–Matemática.

Mas a corda musical não é senão o primeiro exemplo matemático da análise do som. De fato, quer o som produzido pela maioria dos instrumentos musicais, quer o próprio ouvido humano, exigem modelos matemáticos que tenham em conta as várias dimensões do espaço físico e a geometria dos corpos sonoros. Por exemplo, o som produzido pela membrana de um tambor requer a análise da equação das ondas bidimensionais, onde em lugar de segunda derivada espacial se tem de colocar o Laplaciano ∆=∂²/∂x²₁ + ∂²/∂x²₂, procurando agora o deslocamento da posição da membrana através duma função u = u (x1, x2, t) onde o ponto (x1, x2) varia numa região Ω do plano. A geometria de Ω é agora fundamental na determinação dos sons fundamentais do tambor. A célebre questão retomada por Kac em 1966 sobre “se será possível ouvir a forma de um tambor” só em 1991 encontrou uma resposta parcial e negativa e ainda hoje é um tema geométrico de investigação. Com efeito, aquela questão, que tem um significado preciso e profundo em matemática, consiste em saber se a partir de uma mesma família de valores próprios, de números λ= λn’ n = 1,2,…, que satisfazem o problema

∆u + λu = 0 em dois domínios Ω₁ e Ω₂

para funções que se anulam nas fronteiras ∂Ω₁ e ∂ Ω₂, será possível afirmar que as regiões Ω₁ e Ω₂ são congruentes no sentido da geometria Euclidiana. Esta questão, que admite múltiplas variantes e extensões geométricas, tem resposta negativa para domínios com cantos mas permanece em aberto para o caso de domínios com fronteiras regulares. No entanto, é possível demonstrar que Ω₁ e Ω₂ têm a mesma área e o mesmo perímetro e, por exemplo, entre todos os tambores com a mesma área, o de forma redonda é o que tem o som mais grave.

Musurgia digital

mersennestar

A análise de Fourier estabeleceu as bases da ciência do som e permitiu, em particular, que a “revolução elétrica” viesse a tratar o som na transmissão e no registro da música no último século. Contudo, neste fim do século XX o aparecimento do som digital marca o início de uma nova revolução, pois a codificação numérica permite não só um novo e mais potente instrumento de gravação e de comunicação do som musical, mas também abre novas possibilidades do seu tratamento por computador de uma forma muito mais precisa, fácil e geral que os meios instrumentais ou eletrônicos tradicionais, incluindo na própria criação musical.

Já no século XVII, um obscuro matemático alemão K. Schott, seguindo as idéias de Mersenne e de Kircher, de quem foi aluno, sustentava no seu Organum mathematicum (1668) que para compor cantos harmônicos bastaria dominar a nova “arte musico – aritmética” que consistia em combinar os bacilli musurgici (as fasquias musicais) e utilizar os abaci melothetici e as tabulae musarithmeticae (as tabelas de cálculo “melotéticas” e “aritmúsicais”).

Estas idéias do barroco alemão baseavam-se não apenas na tradição escolástica das relações profundas entre música e números, mas sobretudo na nova arte combinatória explicada por Mersenne, em particular, na Harmonie universelle de 1636. Com efeito, este influente autor para quem compor se reduzia a combinar, distinguira as permutações sem repetição dum número dado de n notas (combinações ordinárias que ele calcula até n = 64)

Sn = 1.2 … (n – 1) . n = n ! ,

das permutações com repetição de n notas das quais p são distintas, que utilizou, em particular, para calcular “a tabela dos cantos que se podem fazer de 9 notas”. Mersenne considerou (e calculou exaustivamente) também os arranjos sem repetições de p notas diferentes entre n dadas

An p = n (n – 1) … (n – p + 1),

e ainda as combinações sem repetição de p notas entre n, Cn p = An p/Sp , com os quais colocou e resolveu pela primeira vez problemas difíceis de combinatória.

A maneira de conceber a composição musical através da aplicação mais ou menos automática de certas regras combinatórias está na base das caixas de música mecanizadas e foi ilustrada ao nível melódico no célebre jogo dos dados musicais (“Musikalisches Würfelspiel”) escrito por Mozart e publicado após a sua morte, em 1793. Esta composição mozartiana consiste numa escolha aleatória de um dos onze resultados obtidos com o lançamento de dois dados, cada um dos quais determinando por um princípio elementar de combinatória minuetes de dezesseis compassos, com um número gigantesco de melodias possíveis.

Mas se a enumeração exaustiva de todas as combinações possíveis apenas realçou o caráter singular das composições musicais, esse aspecto marcou um outro paralelismo entre a história da música ocidental e a evolução da matemática no século XVII. Nomeadamente para G. W. Leibniz, as ciências matemáticas adquirem um papel mais abrangente, enquanto ciência sobre as representações de todas as possíveis relações e dependências dos elementos mais simples, buscando uma linguagem universal e uma álgebra de raciocínio, aperfeiçoando o cálculo e criando novos algoritmos aos quais se torna necessário dar um simbolismo adequado à essência dos conceitos e operações. Assim, por exemplo, torna-se significativa a proposta simples e funcional da notação leibniziana para o sistema binário, conforme descreveu numa carta de 1701 a J. Bernoulli: “Há muitos anos ocorreu-me uma idéia original sobre um tipo de Aritmética, onde tudo se exprime com 0 e 1”.

sistema binario de leibniz

Contudo, este “novo tipo de Aritmética” apenas se veio a concretizar nos modernos computadores, onde cada bit representa um estado elétrico: on (corrente) associa-se ao número 1; off (ausência de corrente) ao 0; e as seqüências de impulsos elétricos, como por exemplo 01000001 que representa em sistema binário o número 65, e que também pode ser atribuído à letra maiúscula A através de um outro código.

Se podemos considerar como precursoras das modernas calculadoras as máquinas seiscentistas de repercussão limitada, nomeadamente as de W. Schickard e de B.

Pascal capazes de adicionar e subtrair mecanicamente, ou a de Leibniz de 1671, que também podia multiplicar e dividir, são as máquinas mecânicas de C. Babbage, nomeadamente a Difference Engine concebida em 1821, e a Analytical Engine desenhada cerca de 1834, que se consideram pelas suas concepções as precursoras dos computadores eletrônicos. Com efeito, apesar daquelas máquinas nunca terem sido completamente construídas, os princípios subjacentes ao funcionamento e às potencialidades da Analytical Engine foram cedo reconhecidos e, em particular, foram notavelmente comentados por Ada Lovelace, filha de lord Byron e dear and much admired interpreterde Babbage. Numa passagem sobre a concepção daquela máquina Lady Lovelace refere especificamente que o seu mecanismo operativo (…) poderia agir sobre outras coisas para além de números, objetos tais que as suas relações fundamentais recíprocas pudessem ser expressas pela ciência abstrata das operações”e, como exemplo concreto no quadro da notação operativa e mecanismos da Analytical Engine, supõe explicitamente que as relações fundamentais dos sons determinados na ciência da harmonia e da composição musical pudessem ser expressos e adaptáveis à sua ação; a máquina poderia compor peças musicais científicas e elaboradas, com qualquer grau de complexidade ou extensão.

Contudo, um mecanismo suficientemente potente capaz de “incorporar a ciência das operações” apenas apareceria com o computador moderno na segunda metade do século XX. Desde logo, surgem as primeiras experiências de composição musical assistida por computador de L. Hiller em 1956 nos E.U.A., seguidos de P. Barbaud e de I. Xenakis em França e de outras. Nos Bell Laboratories, em 1957 M. Mathews e os seus colaboradores realizaram o primeiro registro numérico e a primeira síntese de sons por computador e, em 1965, J.C. Risset simula computacionalmente os primeiros sons de instrumentos musicais.

Em 1973 constrói-se o primeiro sintetizador numérico, o Synclavier o qual será então comercializado, e cerca de dez anos depois o público tem acesso à gravação digital dos CD’s (compact disc).

O processo complexo de análise do som inicia-se com a captação das ondas sonoras, transmitidas pelo ar, por um microfone que as transforma num sinal elétrico analógico. Este sinal analógico é medido e convertido numa corrente de números num equipamento de gravação digital. Assim o som numérico é constituído por uma sucessão de dados binários (0’s e 1’s) e pode ser lido por um computador, armazenado num CD-ROM, enviado pela internet e tocado num leitor digital.

Mas se pode-se calcular os números sucessivos representando uma onda sonora, efetuando-se a síntese numérica do som e obtendo-se assim uma sonorização com uma precisão e uma reprodutibilidade sem precedentes, pode-se também, através de modalidades diversas especificadas pela programação, compor diretamente o som, “inventar” instrumentos e tons artificiais ou tocar música em orquestras virtuais através dos multimídias. Neste processo desempenha desde 1983 um papel fundamental a norma MIDI (Musical Instrumental Digital Interface) que permite aos computadores gravar e editar música, do mesmo modo que as notas numa partitura indicam aos músicos como tocar. É claro que neste novo e cada vez mais acessível artesanato informático do som musical a matemática é um instrumento implicitamente onipresente.

Se hoje em dia temos o domínio da numerizaçãona análise e síntese do som musical, se começamos a esboçar a matematização de certas estruturas musicais e os computadores nos permitem ouvir os cálculos e as estruturas matemáticas, parafraseando Saccheri temos Pythagoras ab omni naevo vindicatus sive Conatus arithmeticus quo stabiliuntur prima ipsa universæ musicæ principia (Pitágoras liberto de toda a mácula ou a tentativa aritmética de estabelecer os primeiros princípios de toda a música), podemos continuar a concordar com Aristoxenus e aceitar que a justificação da música está no prazer da sua audição e na sua fruição.

E-book: The Myth of Invariance